2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 1회~10회 통합 해설집 (총 100문항)

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2·예제 3 로그의 성질과 밑변환 변형 | 성취기준: [12대수01-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 10번·자연 10번 (문항정보 10, 24: 로그의 밑변환과 유리수 지수)

문제 1-1

두 양수 $a = \log_2 27$, $b = \log_3 16$에 대하여 $ab$의 값과 $(ab)^{\frac{1}{2}} + \log_2 128$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 성질과 밑의 변환 공식을 이용하여 로그의 곱과 거듭제곱을 계산할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 성질을 이용한 $a, b$ 정리 (30%)

$a = \log_2 3^{3} = 3\log_2 3$이고, $b = \log_3 2^{4} = 4\log_3 2$이다.

Step 2. 밑의 변환 공식으로 $ab$ 계산 (40%)

밑의 변환 공식 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$을 적용하면
$$ab = (3\log_2 3) \times \frac{4}{\log_2 3} = 12$$

Step 3. 주어진 식의 값 계산 (30%)

$\log_2 128 = \log_2 2^{7} = 7$이므로 구하는 값은 $(12)^{\frac{1}{2}} + 7$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
밑변환 공식으로 $ab$ 도출	$ab = 12$를 구한 경우	5점
최종 식의 값 도출	주어진 식의 값을 정확히 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3·문제 4 로그방정식과 로그부등식 변형 | 성취기준: [12대수01-08], [12대수01-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 10번 · 2026학년도 자연 8번 (문항정보 10, 22: 로그방정식의 풀이)

문제 1-2

방정식 $(\log_{2} x)^2 - k\log_{2} x + 6 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta \; (\alpha < \beta)$라 하자. $\alpha = 4$일 때, 상수 $k$와 다른 한 근 $\beta$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그방정식을 치환하여 이차방정식으로 변환하고 주어진 근을 이용해 미정계수와 나머지 근을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 한 근 $\alpha$를 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

$x = 4$을 대입하면 $\log_{2} 4 = 2$이므로
$$2^2 - 2k + 6 = 0 \implies 2k = 10 \implies k = 5$$

Step 2. 치환을 통한 이차방정식 풀이 (30%)

$\log_{2} x = t$로 치환하면 $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0$이므로 $t = 2$ 또는 $t = 3$이다.

Step 3. 다른 한 근 $\beta$ 확정 (30%)

$\alpha < \beta$이므로 $\log_{2} \beta = 3 \implies \beta = 2^{3} = 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$k = 5$을 구한 경우	5점
다른 한 근 $\beta$ 도출	$\beta = 8$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2·문제 5 부채꼴의 호의 길이와 중심각 변형 | 성취기준: [12대수02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 14번 · 자연 14번 (문항정보 14, 28: 부채꼴의 호의 길이와 넓이)

문제 1-3

반지름의 길이가 $r \; (r \ge 4)$, 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 둘레의 길이가 $14$이고 넓이가 $12$일 때, 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 부채꼴의 호의 길이 $l = r\theta$와 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl$ 공식을 연립하여 반지름과 중심각의 크기를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 둘레의 길이와 넓이 공식 연립 (50%)

부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 14 \implies l = 14 - 2r$이다.
넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = 12$에 대입하면
$$\frac{1}{2}r(14 - 2r) = 12 \implies r^2 - 7r + 12 = 0$$

Step 2. 조건 $r \ge 4$를 만족하는 반지름 $r$와 중심각 $\theta$ 도출 (50%)

방정식을 풀면 $r \ge 4$이므로 $r = 4$이고, $l = 14 - 2(4) = 6$이다.
따라서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{3}{2}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
반지름의 길이 $r$ 도출	$r = 4$를 구한 경우	5점
중심각의 크기 $\theta$ 도출	$\theta = \dfrac{3}{2}$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1·문제 1 사인법칙과 코사인법칙 변형 | 성취기준: [12대수02-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 (문항정보 26: 코사인법칙과 외접원의 반지름)

문제 1-4

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 3$, $\overline{AC} = 5$, $\angle A = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각형에서 코사인법칙으로 대변의 길이를 구하고 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙으로 변 $BC$의 길이 계산 (50%)

코사인법칙에 의하여
$$\begin{aligned} \overline{BC}^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \\ &= 9 + 25 + 15=49 \end{aligned}$$
$\overline{BC} > 0$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

Step 2. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (50%)

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = 2R$에서 $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로
$$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
변 $BC$의 길이 도출	코사인법칙으로 $\overline{BC} = 7$를 구한 경우	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	사인법칙으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 예제 1·문제 1 등차·등비수열과 수열의 귀납적 정의 변형 | 성취기준: [12대수03-06], [12대수03-02], [12대수03-03], [12대수03-05]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 11번 · 자연 7번 (문항정보 11, 21: 등차수열의 일반항과 부분합)

문제 1-5

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_4 = 8$, $a_7 = 14$일 때, 첫째항 $a_1$, 공차 $d$, 그리고 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 등차수열의 일반항 공식으로 첫째항과 공차를 구하고 등차수열의 합 공식을 적용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 두 항의 차를 이용하여 공차 $d$와 첫째항 $a_1$ 도출 (50%)

$a_7 - a_4 = 3d = 6$이므로 공차 $d = 2$이다.
$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 6 = 8$이므로 첫째항 $a_1 = 2$이다.

Step 2. 등차수열의 합 $S_{10}$ 계산 (50%)

$$S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 5\left(2 \times 2 + 9 \times 2\right) = 5 \times 22 = 110$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
첫째항 $a_1$과 공차 $d$ 도출	$a_1 = 2$ (2점), $d = 2$ (3점)	5점
등차수열의 합 $S_{10}$ 도출	$S_{10} = 110$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 (교과서 22쪽) 예제 3·문제 7 함수의 극한에 대한 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-02]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 10번 · 2026학년도 자연 11번 (문항정보 25: 무리식 부정형 극한)

문제 1-6

등식 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+a} - b}{x^2 - 4} = \dfrac{1}{16}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $\dfrac{0}{0}$ 꼴 부정형 함수의 극한에서 분자의 극한 조건과 유리화를 활용하여 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 분모가 $0$으로 수렴할 때 분자의 극한 조건 (30%)

$x \to 2$일 때 분모 $x^2 - 4 \to 0$이고 유한한 극한값이 존재하므로
$$\lim_{x \to 2} \left(\sqrt{x+a} - b\right) = \sqrt{2+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{2+a}$$

Step 2. 분자의 유리화 및 $a, b$ 도출 (70%)

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{2+a}}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x + 2)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{2+a}\right)} \\ &= \frac{1}{8\sqrt{2+a}}=\frac{1}{16} \end{aligned}$$
따라서 $\sqrt{2+a} = 2 \implies a = 2$이고, $b = 2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	유리화를 통해 $a = 2$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = 2$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 (교과서 74쪽) 예제 2·문제 2 접선의 방정식 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-02-06]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 (문항정보 30: 삼차함수 접선의 방정식)

문제 1-7

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1x + 1$ 위의 점 $(2, 3)$에서의 접선의 방정식이 $y = ax + b$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수를 이용하여 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기와 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x)$와 접선의 기울기 $a = f'(2)$ 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1x + 1$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로
$$a = f'(2) = 12 - 8 + 1 = 5$$

Step 2. 접선의 방정식으로부터 $y$절편 $b$ 도출 (50%)

점 $(2, 3)$을 지나고 기울기가 $5$인 접선의 방정식은
$$y - (3) = 5(x - 2) \implies y = 5x + (-7)$$
따라서 $b = -7$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선의 기울기 $a$ 도출	$a = f'(2) = 5$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = -7$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 (교과서 88쪽) 예제 3·문제 5 함수의 극대와 극소 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 자연 8번 (문항정보 14, 23: 삼차함수의 극값과 미정계수)

문제 1-8

함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$는 $x = -1$에서 극댓값 $10$을 가지고, $x = 1$에서 극솟값을 가진다. 상수 $a, b, c$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수의 부호 변화와 극값 조건을 이용하여 삼차함수의 미정계수와 극솟값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 극값 조건 $f'(-1) = 0, \; f'(1) = 0$으로부터 $a, b$ 도출 (50%)

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 1) = 6x^2 + (0)x + (-6)$이므로
$$2a = 0 \implies a = 0, \quad b = -6$$

Step 2. 극댓값 $f(-1) = 10$로부터 $c$ 도출 (25%)

$$f(-1) = -2 + (0) - (-6) + c = 10 \implies c = 6$$

Step 3. 극솟값 $f(1)$ 계산 (25%)

$$f(1) = 2(1) + (0)(1) + (-6)(1) + (6) = 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a, b$ 도출	$a = 0$ (3점), $b = -6$ (3점)	6점 (각 3점)
상수 $c$ 및 극솟값 도출	$c = 6$ (2점), 극솟값 $2$ (2점)	4점 (각 2점)

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 (교과서 100쪽) 예제 1·문제 1 속도와 가속도 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-10]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 (문항정보 13: 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도)

문제 1-9

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 위치 $x$가 $x(t) = t^3 + at^2 + bt$이다. 시각 $t = 1$에서 점 $P$의 속도가 $0$이고 가속도가 $4$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 위치를 시각 $t$에 대하여 미분하여 속도와 가속도를 구하고 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t)$와 가속도 $\alpha(t)$ 도출 (40%)

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2at + b, \quad \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = 6t + 2a$$

Step 2. $t = 1$에서의 조건 대입 및 $a, b$ 계산 (60%)

$\alpha(1) = 6 + 2a = 4 \implies a = -1$이고,
$v(1) = 3 + 2(-1) + b = 0 \implies b = -1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	가속도 조건으로부터 $a = -1$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	속도 조건으로부터 $b = -1$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 (교과서 127쪽) 예제 3·문제 5 정적분의 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-03], [12미적Ⅰ-03-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 12번 · 자연 12번 (문항정보 12, 27: 대칭구간 정적분)

문제 1-10

다항함수 $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 4x - 1$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$와 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 대칭구간 $[-1, 1]$에서 기함수와 우함수의 정적분 성질을 활용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 기함수 소거를 통한 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$ 계산 (50%)

홀수차 항 $4x^3, 4x$는 기함수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분이 $0$이다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (-3x^2 - 1)\,dx = 2\Big[-1x^3 - 1x\Big]_{0}^{1} = 2(-1 - 1) = -4$$

Step 2. 구간 $[0, 1]$에서의 정적분 계산 (50%)

$$\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \Big[x^4 - 1x^3 + 2x^2 - 1x\Big]_{0}^{1} = 1 - 1 + 2 - 1 = 1$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
대칭구간 정적분 도출	$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = -4$을 구한 경우	5점
구간 $[0, 1]$ 정적분 도출	$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2·예제 3 로그의 성질과 밑변환 변형 | 성취기준: [12대수01-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 10번·자연 10번 (문항정보 10, 24: 로그의 밑변환과 유리수 지수)

문제 2-1

두 양수 $a = \log_2 9$, $b = \log_3 64$에 대하여 $ab$의 값과 $(ab)^{\frac{1}{3}} + \log_2 256$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 성질과 밑의 변환 공식을 이용하여 로그의 곱과 거듭제곱을 계산할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 성질을 이용한 $a, b$ 정리 (30%)

$a = \log_2 3^{2} = 2\log_2 3$이고, $b = \log_3 2^{6} = 6\log_3 2$이다.

Step 2. 밑의 변환 공식으로 $ab$ 계산 (40%)

밑의 변환 공식 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$을 적용하면
$$ab = (2\log_2 3) \times \frac{6}{\log_2 3} = 12$$

Step 3. 주어진 식의 값 계산 (30%)

$\log_2 256 = \log_2 2^{8} = 8$이므로 구하는 값은 $(12)^{\frac{1}{3}} + 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
밑변환 공식으로 $ab$ 도출	$ab = 12$를 구한 경우	5점
최종 식의 값 도출	주어진 식의 값을 정확히 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 10번 · 2026학년도 자연 8번 (문항정보 10, 22: 로그방정식의 풀이)

문제 2-2

방정식 $(\log_{3} x)^2 - k\log_{3} x + 3 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta \; (\alpha < \beta)$라 하자. $\alpha = 3$일 때, 상수 $k$와 다른 한 근 $\beta$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그방정식을 치환하여 이차방정식으로 변환하고 주어진 근을 이용해 미정계수와 나머지 근을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 한 근 $\alpha$를 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

$x = 3$을 대입하면 $\log_{3} 3 = 1$이므로
$$1^2 - 1k + 3 = 0 \implies 1k = 4 \implies k = 4$$

Step 2. 치환을 통한 이차방정식 풀이 (30%)

$\log_{3} x = t$로 치환하면 $t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $t = 3$이다.

Step 3. 다른 한 근 $\beta$ 확정 (30%)

$\alpha < \beta$이므로 $\log_{3} \beta = 3 \implies \beta = 3^{3} = 27$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$k = 4$을 구한 경우	5점
다른 한 근 $\beta$ 도출	$\beta = 27$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 14번 · 자연 14번 (문항정보 14, 28: 부채꼴의 호의 길이와 넓이)

문제 2-3

반지름의 길이가 $r \; (r \ge 4)$, 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 둘레의 길이가 $16$이고 넓이가 $15$일 때, 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 부채꼴의 호의 길이 $l = r\theta$와 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl$ 공식을 연립하여 반지름과 중심각의 크기를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 둘레의 길이와 넓이 공식 연립 (50%)

부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 16 \implies l = 16 - 2r$이다.
넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = 15$에 대입하면
$$\frac{1}{2}r(16 - 2r) = 15 \implies r^2 - 8r + 15 = 0$$

Step 2. 조건 $r \ge 4$를 만족하는 반지름 $r$와 중심각 $\theta$ 도출 (50%)

방정식을 풀면 $r \ge 4$이므로 $r = 5$이고, $l = 16 - 2(5) = 6$이다.
따라서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{6}{5}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
반지름의 길이 $r$ 도출	$r = 5$를 구한 경우	5점
중심각의 크기 $\theta$ 도출	$\theta = \dfrac{6}{5}$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 (문항정보 26: 코사인법칙과 외접원의 반지름)

문제 2-4

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 5$, $\overline{AC} = 8$, $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각형에서 코사인법칙으로 대변의 길이를 구하고 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙으로 변 $BC$의 길이 계산 (50%)

코사인법칙에 의하여
$$\begin{aligned} \overline{BC}^2 &= 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= 25 + 64 - 40=49 \end{aligned}$$
$\overline{BC} > 0$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

Step 2. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (50%)

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = 2R$에서 $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로
$$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
변 $BC$의 길이 도출	코사인법칙으로 $\overline{BC} = 7$를 구한 경우	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	사인법칙으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 11번 · 자연 7번 (문항정보 11, 21: 등차수열의 일반항과 부분합)

문제 2-5

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_4 = 15$, $a_7 = 27$일 때, 첫째항 $a_1$, 공차 $d$, 그리고 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 등차수열의 일반항 공식으로 첫째항과 공차를 구하고 등차수열의 합 공식을 적용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 두 항의 차를 이용하여 공차 $d$와 첫째항 $a_1$ 도출 (50%)

$a_7 - a_4 = 3d = 12$이므로 공차 $d = 4$이다.
$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 12 = 15$이므로 첫째항 $a_1 = 3$이다.

Step 2. 등차수열의 합 $S_{10}$ 계산 (50%)

$$S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 5\left(2 \times 3 + 9 \times 4\right) = 5 \times 42 = 210$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
첫째항 $a_1$과 공차 $d$ 도출	$a_1 = 3$ (2점), $d = 4$ (3점)	5점
등차수열의 합 $S_{10}$ 도출	$S_{10} = 210$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 10번 · 2026학년도 자연 11번 (문항정보 25: 무리식 부정형 극한)

문제 2-6

등식 $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+a} - b}{x^2 - 9} = \dfrac{1}{36}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $\dfrac{0}{0}$ 꼴 부정형 함수의 극한에서 분자의 극한 조건과 유리화를 활용하여 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 분모가 $0$으로 수렴할 때 분자의 극한 조건 (30%)

$x \to 3$일 때 분모 $x^2 - 9 \to 0$이고 유한한 극한값이 존재하므로
$$\lim_{x \to 3} \left(\sqrt{x+a} - b\right) = \sqrt{3+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{3+a}$$

Step 2. 분자의 유리화 및 $a, b$ 도출 (70%)

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{3+a}}{(x - 3)(x + 3)} \\ &= \lim_{x \to 3} \frac{1}{(x + 3)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{3+a}\right)} \\ &= \frac{1}{12\sqrt{3+a}}=\frac{1}{36} \end{aligned}$$
따라서 $\sqrt{3+a} = 3 \implies a = 6$이고, $b = 3$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	유리화를 통해 $a = 6$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = 3$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 (문항정보 30: 삼차함수 접선의 방정식)

문제 2-7

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$ 위의 점 $(2, 5)$에서의 접선의 방정식이 $y = ax + b$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수를 이용하여 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기와 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x)$와 접선의 기울기 $a = f'(2)$ 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$이므로
$$a = f'(2) = 12 - 12 + 4 = 4$$

Step 2. 접선의 방정식으로부터 $y$절편 $b$ 도출 (50%)

점 $(2, 5)$을 지나고 기울기가 $4$인 접선의 방정식은
$$y - (5) = 4(x - 2) \implies y = 4x + (-3)$$
따라서 $b = -3$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선의 기울기 $a$ 도출	$a = f'(2) = 4$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = -3$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 자연 8번 (문항정보 14, 23: 삼차함수의 극값과 미정계수)

문제 2-8

함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$는 $x = -1$에서 극댓값 $12$을 가지고, $x = 2$에서 극솟값을 가진다. 상수 $a, b, c$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수의 부호 변화와 극값 조건을 이용하여 삼차함수의 미정계수와 극솟값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 극값 조건 $f'(-1) = 0, \; f'(2) = 0$으로부터 $a, b$ 도출 (50%)

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 2) = 6x^2 + (-6)x + (-12)$이므로
$$2a = -6 \implies a = -3, \quad b = -12$$

Step 2. 극댓값 $f(-1) = 12$로부터 $c$ 도출 (25%)

$$f(-1) = -2 + (-3) - (-12) + c = 12 \implies c = 5$$

Step 3. 극솟값 $f(2)$ 계산 (25%)

$$f(2) = 2(8) + (-3)(4) + (-12)(2) + (5) = -15$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a, b$ 도출	$a = -3$ (3점), $b = -12$ (3점)	6점 (각 3점)
상수 $c$ 및 극솟값 도출	$c = 5$ (2점), 극솟값 $-15$ (2점)	4점 (각 2점)

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 (문항정보 13: 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도)

문제 2-9

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 위치 $x$가 $x(t) = t^3 + at^2 + bt$이다. 시각 $t = 2$에서 점 $P$의 속도가 $0$이고 가속도가 $10$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 위치를 시각 $t$에 대하여 미분하여 속도와 가속도를 구하고 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t)$와 가속도 $\alpha(t)$ 도출 (40%)

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2at + b, \quad \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = 6t + 2a$$

Step 2. $t = 2$에서의 조건 대입 및 $a, b$ 계산 (60%)

$\alpha(2) = 12 + 2a = 10 \implies a = -1$이고,
$v(2) = 12 + 4(-1) + b = 0 \implies b = -8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	가속도 조건으로부터 $a = -1$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	속도 조건으로부터 $b = -8$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 12번 · 자연 12번 (문항정보 12, 27: 대칭구간 정적분)

문제 2-10

다항함수 $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 2$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$와 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 대칭구간 $[-1, 1]$에서 기함수와 우함수의 정적분 성질을 활용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 기함수 소거를 통한 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$ 계산 (50%)

홀수차 항 $4x^3, 6x$는 기함수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분이 $0$이다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (-6x^2 - 2)\,dx = 2\Big[-2x^3 - 2x\Big]_{0}^{1} = 2(-2 - 2) = -8$$

Step 2. 구간 $[0, 1]$에서의 정적분 계산 (50%)

$$\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \Big[x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x\Big]_{0}^{1} = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
대칭구간 정적분 도출	$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = -8$을 구한 경우	5점
구간 $[0, 1]$ 정적분 도출	$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 0$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2·예제 3 로그의 성질과 밑변환 변형 | 성취기준: [12대수01-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 10번·자연 10번 (문항정보 10, 24: 로그의 밑변환과 유리수 지수)

문제 3-1

두 양수 $a = \log_2 81$, $b = \log_3 16$에 대하여 $ab$의 값과 $(ab)^{\frac{1}{2}} + \log_2 256$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 성질과 밑의 변환 공식을 이용하여 로그의 곱과 거듭제곱을 계산할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 성질을 이용한 $a, b$ 정리 (30%)

$a = \log_2 3^{4} = 4\log_2 3$이고, $b = \log_3 2^{4} = 4\log_3 2$이다.

Step 2. 밑의 변환 공식으로 $ab$ 계산 (40%)

밑의 변환 공식 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$을 적용하면
$$ab = (4\log_2 3) \times \frac{4}{\log_2 3} = 16$$

Step 3. 주어진 식의 값 계산 (30%)

$\log_2 256 = \log_2 2^{8} = 8$이므로 구하는 값은 $(16)^{\frac{1}{2}} + 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
밑변환 공식으로 $ab$ 도출	$ab = 16$를 구한 경우	5점
최종 식의 값 도출	주어진 식의 값을 정확히 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 10번 · 2026학년도 자연 8번 (문항정보 10, 22: 로그방정식의 풀이)

문제 3-2

방정식 $(\log_{2} x)^2 - k\log_{2} x + 4 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta \; (\alpha < \beta)$라 하자. $\alpha = 2$일 때, 상수 $k$와 다른 한 근 $\beta$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그방정식을 치환하여 이차방정식으로 변환하고 주어진 근을 이용해 미정계수와 나머지 근을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 한 근 $\alpha$를 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

$x = 2$을 대입하면 $\log_{2} 2 = 1$이므로
$$1^2 - 1k + 4 = 0 \implies 1k = 5 \implies k = 5$$

Step 2. 치환을 통한 이차방정식 풀이 (30%)

$\log_{2} x = t$로 치환하면 $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $t = 4$이다.

Step 3. 다른 한 근 $\beta$ 확정 (30%)

$\alpha < \beta$이므로 $\log_{2} \beta = 4 \implies \beta = 2^{4} = 16$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$k = 5$을 구한 경우	5점
다른 한 근 $\beta$ 도출	$\beta = 16$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 14번 · 자연 14번 (문항정보 14, 28: 부채꼴의 호의 길이와 넓이)

문제 3-3

반지름의 길이가 $r \; (r \ge 4)$, 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 둘레의 길이가 $18$이고 넓이가 $18$일 때, 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 부채꼴의 호의 길이 $l = r\theta$와 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl$ 공식을 연립하여 반지름과 중심각의 크기를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 둘레의 길이와 넓이 공식 연립 (50%)

부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 18 \implies l = 18 - 2r$이다.
넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = 18$에 대입하면
$$\frac{1}{2}r(18 - 2r) = 18 \implies r^2 - 9r + 18 = 0$$

Step 2. 조건 $r \ge 4$를 만족하는 반지름 $r$와 중심각 $\theta$ 도출 (50%)

방정식을 풀면 $r \ge 4$이므로 $r = 6$이고, $l = 18 - 2(6) = 6$이다.
따라서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = 1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
반지름의 길이 $r$ 도출	$r = 6$를 구한 경우	5점
중심각의 크기 $\theta$ 도출	$\theta = 1$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 (문항정보 26: 코사인법칙과 외접원의 반지름)

문제 3-4

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 3$, $\overline{AC} = 8$, $\angle A = \dfrac{\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각형에서 코사인법칙으로 대변의 길이를 구하고 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙으로 변 $BC$의 길이 계산 (50%)

코사인법칙에 의하여
$$\begin{aligned} \overline{BC}^2 &= 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= 9 + 64 - 24=49 \end{aligned}$$
$\overline{BC} > 0$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

Step 2. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (50%)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
변 $BC$의 길이 도출	코사인법칙으로 $\overline{BC} = 7$를 구한 경우	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	사인법칙으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 11번 · 자연 7번 (문항정보 11, 21: 등차수열의 일반항과 부분합)

문제 3-5

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_4 = 22$, $a_7 = 40$일 때, 첫째항 $a_1$, 공차 $d$, 그리고 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 등차수열의 일반항 공식으로 첫째항과 공차를 구하고 등차수열의 합 공식을 적용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 두 항의 차를 이용하여 공차 $d$와 첫째항 $a_1$ 도출 (50%)

$a_7 - a_4 = 3d = 18$이므로 공차 $d = 6$이다.
$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 18 = 22$이므로 첫째항 $a_1 = 4$이다.

Step 2. 등차수열의 합 $S_{10}$ 계산 (50%)

$$S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 5\left(2 \times 4 + 9 \times 6\right) = 5 \times 62 = 310$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
첫째항 $a_1$과 공차 $d$ 도출	$a_1 = 4$ (2점), $d = 6$ (3점)	5점
등차수열의 합 $S_{10}$ 도출	$S_{10} = 310$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 10번 · 2026학년도 자연 11번 (문항정보 25: 무리식 부정형 극한)

문제 3-6

등식 $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+a} - b}{x^2 - 16} = \dfrac{1}{64}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $\dfrac{0}{0}$ 꼴 부정형 함수의 극한에서 분자의 극한 조건과 유리화를 활용하여 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 분모가 $0$으로 수렴할 때 분자의 극한 조건 (30%)

$x \to 4$일 때 분모 $x^2 - 16 \to 0$이고 유한한 극한값이 존재하므로
$$\lim_{x \to 4} \left(\sqrt{x+a} - b\right) = \sqrt{4+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{4+a}$$

Step 2. 분자의 유리화 및 $a, b$ 도출 (70%)

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{4+a}}{(x - 4)(x + 4)} \\ &= \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 4)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{4+a}\right)} \\ &= \frac{1}{16\sqrt{4+a}}=\frac{1}{64} \end{aligned}$$
따라서 $\sqrt{4+a} = 4 \implies a = 12$이고, $b = 4$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	유리화를 통해 $a = 12$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = 4$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 (문항정보 30: 삼차함수 접선의 방정식)

문제 3-7

곡선 $y = x^3 - 4x^2 + 7x + 1$ 위의 점 $(2, 7)$에서의 접선의 방정식이 $y = ax + b$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수를 이용하여 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기와 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x)$와 접선의 기울기 $a = f'(2)$ 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x + 1$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 8x + 7$이므로
$$a = f'(2) = 12 - 16 + 7 = 3$$

Step 2. 접선의 방정식으로부터 $y$절편 $b$ 도출 (50%)

점 $(2, 7)$을 지나고 기울기가 $3$인 접선의 방정식은
$$y - (7) = 3(x - 2) \implies y = 3x + (1)$$
따라서 $b = 1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선의 기울기 $a$ 도출	$a = f'(2) = 3$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = 1$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 자연 8번 (문항정보 14, 23: 삼차함수의 극값과 미정계수)

문제 3-8

함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$는 $x = -1$에서 극댓값 $14$을 가지고, $x = 3$에서 극솟값을 가진다. 상수 $a, b, c$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수의 부호 변화와 극값 조건을 이용하여 삼차함수의 미정계수와 극솟값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 극값 조건 $f'(-1) = 0, \; f'(3) = 0$으로부터 $a, b$ 도출 (50%)

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 3) = 6x^2 + (-12)x + (-18)$이므로
$$2a = -12 \implies a = -6, \quad b = -18$$

Step 2. 극댓값 $f(-1) = 14$로부터 $c$ 도출 (25%)

$$f(-1) = -2 + (-6) - (-18) + c = 14 \implies c = 4$$

Step 3. 극솟값 $f(3)$ 계산 (25%)

$$f(3) = 2(27) + (-6)(9) + (-18)(3) + (4) = -50$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a, b$ 도출	$a = -6$ (3점), $b = -18$ (3점)	6점 (각 3점)
상수 $c$ 및 극솟값 도출	$c = 4$ (2점), 극솟값 $-50$ (2점)	4점 (각 2점)

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 (문항정보 13: 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도)

문제 3-9

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 위치 $x$가 $x(t) = t^3 + at^2 + bt$이다. 시각 $t = 3$에서 점 $P$의 속도가 $0$이고 가속도가 $16$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 위치를 시각 $t$에 대하여 미분하여 속도와 가속도를 구하고 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t)$와 가속도 $\alpha(t)$ 도출 (40%)

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2at + b, \quad \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = 6t + 2a$$

Step 2. $t = 3$에서의 조건 대입 및 $a, b$ 계산 (60%)

$\alpha(3) = 18 + 2a = 16 \implies a = -1$이고,
$v(3) = 27 + 6(-1) + b = 0 \implies b = -21$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	가속도 조건으로부터 $a = -1$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	속도 조건으로부터 $b = -21$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 12번 · 자연 12번 (문항정보 12, 27: 대칭구간 정적분)

문제 3-10

다항함수 $f(x) = 4x^3 - 9x^2 + 8x - 3$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$와 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 대칭구간 $[-1, 1]$에서 기함수와 우함수의 정적분 성질을 활용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 기함수 소거를 통한 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$ 계산 (50%)

홀수차 항 $4x^3, 8x$는 기함수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분이 $0$이다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (-9x^2 - 3)\,dx = 2\Big[-3x^3 - 3x\Big]_{0}^{1} = 2(-3 - 3) = -12$$

Step 2. 구간 $[0, 1]$에서의 정적분 계산 (50%)

$$\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \Big[x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x\Big]_{0}^{1} = 1 - 3 + 4 - 3 = -1$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
대칭구간 정적분 도출	$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = -12$을 구한 경우	5점
구간 $[0, 1]$ 정적분 도출	$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = -1$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2·문제 4 거듭제곱근과 지수의 성질 변형 | 성취기준: [12대수01-02], [12대수01-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 응용 (거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건)

문제 4-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 $\left(\sqrt[n]{3^{6}}\right)^2$의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 개수와 그 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하고 그 값이 자연수가 되기 위한 지수의 약수 조건을 추론할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환 (40%)

지수법칙에 의하여 $\left(\sqrt[n]{3^{6}}\right)^2 = \left(3^{\frac{6}{n}}\right)^2 = 3^{\frac{12}{n}}$이다.

Step 2. 자연수가 되기 위한 $n$의 약수 조건 도출 (40%)

$3^{\frac{12}{n}}$이 자연수가 되려면 지수 $\dfrac{12}{n}$이 자연수여야 하므로, $n \; (n \ge 2)$은 $12$의 약수여야 한다.
따라서 가능한 $n$의 값은 $2, 3, 4, 6, 12$로 총 $5$개이다.

Step 3. 모든 자연수 $n$의 합 계산 (20%)

조건을 만족하는 모든 자연수 $n$의 합은 $2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 27$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
유리수 지수 변형 및 약수 조건 도출	$3^{\frac{12}{n}}$에서 $n$이 $12$의 $2$ 이상인 약수임을 보인 경우	5점
개수와 합 계산	개수 $5$개 (2점), 합 $27$ (3점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 13번 응용 (로그의 진수 조건과 로그부등식의 결합)

문제 4-2

부등식 $\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 진수 조건을 먼저 확인하고 로그의 성질을 이용해 로그부등식의 해를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 진수 조건 확인 (30%)

진수는 양수여야 하므로 $x - 1 > 0$이고 $x - 3 > 0$에서 $x > 3$이다.

Step 2. 로그의 성질을 이용한 이차부등식 풀이 (40%)

$\log_2\{(x - 1)(x - 3)\} \le \log_2 8$에서 밑 $2 > 1$이므로
$$(x - 1)(x - 3) \le 8 \implies (x - -1)(x - 5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5$$

Step 3. 진수 조건과의 공통범위 및 정수해의 합 도출 (30%)

진수 조건 $x > 3$과 연립하면 $3 < x \le 5$이므로 정수 $x$는 4, 5이고, 그 합은 $9$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
진수 조건 명시	진수 조건 $x > 3$을 구한 경우	3점
부등식의 해 도출	$3 < x \le 5$를 구한 경우	4점
정수해의 합 도출	정수 $x$의 합 $9$을 구한 경우	3점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.25 예제 4 삼각함수의 성질과 방정식 변형 | 성취기준: [12대수02-02], [12대수02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 15번 · 자연 11번 응용 (삼각함수 각변환과 치환 최대·최소)

문제 4-3

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le \pi\}$인 함수 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1$이 $x = \alpha$에서 최댓값 $M$, $x = \beta$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $\alpha, \beta, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각함수의 각변환 공식 $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$와 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 결합하여 최대·최소를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 각변환 및 $\cos x = t$ 치환 (40%)

$\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$이고 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로
$$f(x) = 2(1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 1 = -2\cos^2 x - 4\cos x + 3$$
$\cos x = t \; (-1 \le t \le 1)$로 치환하면 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 5$이다.

Step 2. 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출 (60%)

구간 $[-1, 1]$에서 $g(t)$는 감소하므로
• $t = \cos x = -1 \implies x = \pi$일 때 최댓값 $M = g(-1) = 5$ ($\alpha = \pi$)
• $t = \cos x = 1 \implies x = 0$일 때 최솟값 $m = g(1) = -3$ ($\beta = 0$)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
각변환 및 치환 함수 유도	$g(t) = -2(t+1)^2 + 5 \; (-1 \le t \le 1)$을 구한 경우	4점
최댓값 $M$, 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출	$\alpha = \pi, \beta = 0, M = 5, m = -3$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 응용 (사인법칙과 코사인법칙의 복합 추론)

문제 4-4

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $15$일 때, $\angle C$의 크기와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 사인법칙으로부터 세 변의 길이의 비를 구하고, 코사인법칙으로 각의 크기를 구한 뒤 외접원의 반지름을 도출할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 사인법칙과 둘레의 조건으로 세 변의 길이 도출 (30%)

사인법칙에 의하여 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $15$이므로 $a = 3, \; b = 5, \; c = 7$이다.

Step 2. 코사인법칙으로 $\angle C$의 크기 도출 (40%)

$$\begin{aligned} \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} \\ &= -\frac{1}{2} \implies \angle C=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

Step 3. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (30%)

$$\begin{aligned} \frac{c}{\sin C} &= 2R \\ &\implies 2R = \frac{7}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \\ &\implies R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
세 변의 길이와 $\angle C$ 도출	$a=3, b=5, c=7$ 및 $\angle C = \dfrac{2\pi}{3}$를 구한 경우	6점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$을 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 13번 응용 (수열의 합과 일반항 및 부분분수 망원급수)

문제 4-5

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 1n$일 때, 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용하여 일반항을 구하고 부분분수 분해를 통해 급수의 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $S_n - S_{n-1}$을 이용한 일반항 $a_n$ 도출 (40%)

$n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 1n) - \{(n-1)^2 + 1(n-1)\} = 2n + 0$이고, $a_1 = S_1 = 2$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2(n + 0)$이다.

Step 2. 부분분수 분해 및 연쇄 소거 계산 (60%)

$$\frac{4}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(k + 0)(k + 1)} = \frac{1}{k + 0} - \frac{1}{k + 1}$$
따라서 구하는 합은 $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
일반항 $a_n$ 도출	$a_n = 2n + 0$을 구한 경우	4점
부분분수 합 도출	부분분수 소거를 통해 $\dfrac{8}{9}$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 12번 · 자연 11번 심화 (두 극한 조건을 이용한 다항함수 추론)

문제 4-6

다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 1} = 1$

(나) $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 3$

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $x \to \infty$에서의 극한으로 다항함수의 차수와 최고차항의 계수를 결정하고, $x \to 1$에서의 극한으로 인수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 조건 (가)로부터 $f(x)$의 차수와 최고차항 계수 결정 (40%)

조건 (가)에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이고, 조건 (나)에서 $f(1) = 0$이므로 $f(x) = 1(x - 1)(x - k)$ (단, $k$는 상수)로 놓을 수 있다.

Step 2. 조건 (나)에 대입하여 $k$와 $f(2)$ 도출 (60%)

$$\lim_{x \to 1} \frac{1(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 1(1 - k) = 3 \implies 1 - k = 3 \implies k = -2$$
따라서 $f(x) = 1(x - 1)(x + 2)$이므로 $f(2) = 1 \times 1 \times 4 = 4$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이차함수 $f(x)$의 식 설정	$f(x) = 1(x-1)(x-k)$로 설정한 경우	4점
$k$와 $f(2)$ 도출	$k = -2$ 및 $f(2) = 4$을 구한 경우	6점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 (교과서 66쪽) 예제 3·문제 4 미분계수와 도함수 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-04], [12미적Ⅰ-02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 9번 응용 (미분계수의 정의와 미분가능 조건)

문제 4-7

함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + 1x^2 & (x \ge 1) \\ bx + c & (x < 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 함수가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 연속 조건과 좌·우미분계수 일치 조건을 연립할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 연속 조건 적용 (40%)

$f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하면 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 1-} f(x) = f(1)$에서
$$b + c = 1 + 1 = 2$$

Step 2. 좌·우미분계수 일치 조건으로 $b, c$ 도출 (60%)

$x > 1$에서 $f'(x) = 3x^2 + 2x$, $x < 1$에서 $f'(x) = b$이므로
$$b = 3(1)^2 + 2(1) = 5, \quad c = 2 - 5 = -3$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
연속 조건 관계식 도출	$b + c = 2$를 구한 경우	4점
상수 $b, c$ 도출	$b = 5$ (3점), $c = -3$ (3점)	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 15번 응용 (도함수의 부호와 삼차함수의 증가 조건)

문제 4-8

함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 5$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 값의 범위와 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수가 실수 전체에서 증가하기 위한 필요충분조건이 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$ ($D \le 0$)임을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x) \ge 0$ 조건 설정 (40%)

삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 $x$에 대하여
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3 \ge 0$$
이 성립해야 한다.

Step 2. 이차방정식의 판별식 $D/4 \le 0$ 풀이 및 정수 개수 도출 (60%)

이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3 \times 3 = a^2 - 9 = (a + 3)(a - 3) \le 0 \implies -3 \le a \le 3$$
따라서 정수 $a$의 개수는 $3 - (-3) + 1 = 7$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
판별식 $D/4 \le 0$ 조건 수립	$f'(x) \ge 0$으로부터 $a^2 - 9 \le 0$을 유도한 경우	5점
범위와 정수 개수 도출	$-3 \le a \le 3$ 및 정수 개수 $7$개를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 (교과서 97쪽) 예제 3·문제 4 방정식과 부등식에의 활용 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-09], [12미적Ⅰ-02-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 15번 응용 (도함수를 이용한 방정식의 실근의 개수)

문제 4-9

$x$에 대한 삼차방정식 $x^3 - 3x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수를 극댓값과 극솟값을 이용하여 판정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x) = x^3 - 3x$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 3x$라 하면 $f'(x) = 3(x + 1)(x - 1) = 0$에서
극댓값은 $f(-1) = 2$이고, 극솟값은 $f(1) = -2$이다.

Step 2. 직선 $y = k$가 세 점에서 만날 조건 도출 (50%)

곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값보다 크고 극댓값보다 작아야 하므로
$$-2 < k < 2$$
따라서 정수 $k$의 개수는 $2 \times 2 - 1 = 3$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $2$, 극솟값 $-2$을 구한 경우	5점
실수 $k$의 범위 및 정수 개수 도출	$-2 < k < 2$ 및 $3$개를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 (교과서 128쪽) 예제 4·문제 7 정적분으로 정의된 함수 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-04], [12미적Ⅰ-02-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.128 예제 4 · 신한대 정적분 응용 (정적분으로 정의된 함수)

문제 4-10

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\displaystyle\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + kx$를 만족시킬 때, 상수 $k$의 값과 $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 정적분으로 정의된 함수에서 위끝과 아래끝에 같은 값을 대입하는 성질과 양변을 미분하는 관계를 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 양변에 $x = 1$을 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

주어진 등식의 양변에 $x = 1$을 대입하면 좌변은 $0$이므로
$$1^3 - 3(1)^2 + 1k = 0 \implies 1k = 2 \implies k = 2$$

Step 2. 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $f(x)$와 $f(2)$ 계산 (60%)

양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$이므로
$$f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + (2) = 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$x = 1$을 대입하여 $k = 2$을 구한 경우	4점
$f(x)$ 및 $f(2)$ 도출	$f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$ 및 $f(2) = 2$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 응용 (거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건)

문제 5-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 $\left(\sqrt[n]{3^{9}}\right)^2$의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 개수와 그 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하고 그 값이 자연수가 되기 위한 지수의 약수 조건을 추론할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환 (40%)

지수법칙에 의하여 $\left(\sqrt[n]{3^{9}}\right)^2 = \left(3^{\frac{9}{n}}\right)^2 = 3^{\frac{18}{n}}$이다.

Step 2. 자연수가 되기 위한 $n$의 약수 조건 도출 (40%)

$3^{\frac{18}{n}}$이 자연수가 되려면 지수 $\dfrac{18}{n}$이 자연수여야 하므로, $n \; (n \ge 2)$은 $18$의 약수여야 한다.
따라서 가능한 $n$의 값은 $2, 3, 6, 9, 18$로 총 $5$개이다.

Step 3. 모든 자연수 $n$의 합 계산 (20%)

조건을 만족하는 모든 자연수 $n$의 합은 $2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 38$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
유리수 지수 변형 및 약수 조건 도출	$3^{\frac{18}{n}}$에서 $n$이 $18$의 $2$ 이상인 약수임을 보인 경우	5점
개수와 합 계산	개수 $5$개 (2점), 합 $38$ (3점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 13번 응용 (로그의 진수 조건과 로그부등식의 결합)

문제 5-2

부등식 $\log_2(x - 2) + \log_2(x - 4) \le 3$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 진수 조건을 먼저 확인하고 로그의 성질을 이용해 로그부등식의 해를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 진수 조건 확인 (30%)

진수는 양수여야 하므로 $x - 2 > 0$이고 $x - 4 > 0$에서 $x > 4$이다.

Step 2. 로그의 성질을 이용한 이차부등식 풀이 (40%)

$\log_2\{(x - 2)(x - 4)\} \le \log_2 8$에서 밑 $2 > 1$이므로
$$(x - 2)(x - 4) \le 8 \implies (x - 0)(x - 6) \le 0 \implies 0 \le x \le 6$$

Step 3. 진수 조건과의 공통범위 및 정수해의 합 도출 (30%)

진수 조건 $x > 4$과 연립하면 $4 < x \le 6$이므로 정수 $x$는 5, 6이고, 그 합은 $11$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
진수 조건 명시	진수 조건 $x > 4$을 구한 경우	3점
부등식의 해 도출	$4 < x \le 6$를 구한 경우	4점
정수해의 합 도출	정수 $x$의 합 $11$을 구한 경우	3점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 15번 · 자연 11번 응용 (삼각함수 각변환과 치환 최대·최소)

문제 5-3

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le \pi\}$인 함수 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 3$이 $x = \alpha$에서 최댓값 $M$, $x = \beta$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $\alpha, \beta, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각함수의 각변환 공식 $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$와 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 결합하여 최대·최소를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 각변환 및 $\cos x = t$ 치환 (40%)

$\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$이고 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로
$$f(x) = 2(1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 3 = -2\cos^2 x - 4\cos x + 5$$
$\cos x = t \; (-1 \le t \le 1)$로 치환하면 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 7$이다.

Step 2. 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출 (60%)

구간 $[-1, 1]$에서 $g(t)$는 감소하므로
• $t = \cos x = -1 \implies x = \pi$일 때 최댓값 $M = g(-1) = 7$ ($\alpha = \pi$)
• $t = \cos x = 1 \implies x = 0$일 때 최솟값 $m = g(1) = -1$ ($\beta = 0$)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
각변환 및 치환 함수 유도	$g(t) = -2(t+1)^2 + 7 \; (-1 \le t \le 1)$을 구한 경우	4점
최댓값 $M$, 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출	$\alpha = \pi, \beta = 0, M = 7, m = -1$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 응용 (사인법칙과 코사인법칙의 복합 추론)

문제 5-4

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $30$일 때, $\angle C$의 크기와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 사인법칙으로부터 세 변의 길이의 비를 구하고, 코사인법칙으로 각의 크기를 구한 뒤 외접원의 반지름을 도출할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 사인법칙과 둘레의 조건으로 세 변의 길이 도출 (30%)

사인법칙에 의하여 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $30$이므로 $a = 6, \; b = 10, \; c = 14$이다.

Step 2. 코사인법칙으로 $\angle C$의 크기 도출 (40%)

$$\begin{aligned} \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{36 + 100 - 196}{2 \times 6 \times 10} \\ &= -\frac{1}{2} \implies \angle C=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

Step 3. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (30%)

$$\begin{aligned} \frac{c}{\sin C} &= 2R \\ &\implies 2R = \frac{14}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} \\ &\implies R = \frac{14\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
세 변의 길이와 $\angle C$ 도출	$a=6, b=10, c=14$ 및 $\angle C = \dfrac{2\pi}{3}$를 구한 경우	6점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$을 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 13번 응용 (수열의 합과 일반항 및 부분분수 망원급수)

문제 5-5

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 3n$일 때, 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용하여 일반항을 구하고 부분분수 분해를 통해 급수의 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $S_n - S_{n-1}$을 이용한 일반항 $a_n$ 도출 (40%)

$n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 3n) - \{(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 2n + 2$이고, $a_1 = S_1 = 4$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2(n + 1)$이다.

Step 2. 부분분수 분해 및 연쇄 소거 계산 (60%)

$$\frac{4}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$$
따라서 구하는 합은 $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} = \dfrac{9}{22}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
일반항 $a_n$ 도출	$a_n = 2n + 2$을 구한 경우	4점
부분분수 합 도출	부분분수 소거를 통해 $\dfrac{9}{22}$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 12번 · 자연 11번 심화 (두 극한 조건을 이용한 다항함수 추론)

문제 5-6

다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 1} = 2$

(나) $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 8$

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $x \to \infty$에서의 극한으로 다항함수의 차수와 최고차항의 계수를 결정하고, $x \to 1$에서의 극한으로 인수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 조건 (가)로부터 $f(x)$의 차수와 최고차항 계수 결정 (40%)

조건 (가)에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이고, 조건 (나)에서 $f(1) = 0$이므로 $f(x) = 2(x - 1)(x - k)$ (단, $k$는 상수)로 놓을 수 있다.

Step 2. 조건 (나)에 대입하여 $k$와 $f(2)$ 도출 (60%)

$$\lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 2(1 - k) = 8 \implies 1 - k = 4 \implies k = -3$$
따라서 $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$이므로 $f(2) = 2 \times 1 \times 5 = 10$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이차함수 $f(x)$의 식 설정	$f(x) = 2(x-1)(x-k)$로 설정한 경우	4점
$k$와 $f(2)$ 도출	$k = -3$ 및 $f(2) = 10$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 9번 응용 (미분계수의 정의와 미분가능 조건)

문제 5-7

함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + 2x^2 & (x \ge 1) \\ bx + c & (x < 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 함수가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 연속 조건과 좌·우미분계수 일치 조건을 연립할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 연속 조건 적용 (40%)

$f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하면 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 1-} f(x) = f(1)$에서
$$b + c = 1 + 2 = 3$$

Step 2. 좌·우미분계수 일치 조건으로 $b, c$ 도출 (60%)

$x > 1$에서 $f'(x) = 3x^2 + 4x$, $x < 1$에서 $f'(x) = b$이므로
$$b = 3(1)^2 + 4(1) = 7, \quad c = 3 - 7 = -4$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
연속 조건 관계식 도출	$b + c = 3$를 구한 경우	4점
상수 $b, c$ 도출	$b = 7$ (3점), $c = -4$ (3점)	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 15번 응용 (도함수의 부호와 삼차함수의 증가 조건)

문제 5-8

함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + 12x + 5$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 값의 범위와 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수가 실수 전체에서 증가하기 위한 필요충분조건이 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$ ($D \le 0$)임을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x) \ge 0$ 조건 설정 (40%)

삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 $x$에 대하여
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 12 \ge 0$$
이 성립해야 한다.

Step 2. 이차방정식의 판별식 $D/4 \le 0$ 풀이 및 정수 개수 도출 (60%)

이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3 \times 12 = a^2 - 36 = (a + 6)(a - 6) \le 0 \implies -6 \le a \le 6$$
따라서 정수 $a$의 개수는 $6 - (-6) + 1 = 13$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
판별식 $D/4 \le 0$ 조건 수립	$f'(x) \ge 0$으로부터 $a^2 - 36 \le 0$을 유도한 경우	5점
범위와 정수 개수 도출	$-6 \le a \le 6$ 및 정수 개수 $13$개를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 15번 응용 (도함수를 이용한 방정식의 실근의 개수)

문제 5-9

$x$에 대한 삼차방정식 $x^3 - 12x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수를 극댓값과 극솟값을 이용하여 판정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x) = x^3 - 12x$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 12x$라 하면 $f'(x) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$에서
극댓값은 $f(-2) = 16$이고, 극솟값은 $f(2) = -16$이다.

Step 2. 직선 $y = k$가 세 점에서 만날 조건 도출 (50%)

곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값보다 크고 극댓값보다 작아야 하므로
$$-16 < k < 16$$
따라서 정수 $k$의 개수는 $2 \times 16 - 1 = 31$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $16$, 극솟값 $-16$을 구한 경우	5점
실수 $k$의 범위 및 정수 개수 도출	$-16 < k < 16$ 및 $31$개를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.128 예제 4 · 신한대 정적분 응용 (정적분으로 정의된 함수)

문제 5-10

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\displaystyle\int_{2}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + kx$를 만족시킬 때, 상수 $k$의 값과 $f(3)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 정적분으로 정의된 함수에서 위끝과 아래끝에 같은 값을 대입하는 성질과 양변을 미분하는 관계를 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 양변에 $x = 2$을 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

주어진 등식의 양변에 $x = 2$을 대입하면 좌변은 $0$이므로
$$2^3 - 3(2)^2 + 2k = 0 \implies 2k = 4 \implies k = 2$$

Step 2. 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $f(x)$와 $f(3)$ 계산 (60%)

양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$이므로
$$f(3) = 3(3)^2 - 6(3) + (2) = 11$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$x = 2$을 대입하여 $k = 2$을 구한 경우	4점
$f(x)$ 및 $f(3)$ 도출	$f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$ 및 $f(3) = 11$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 응용 (거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건)

문제 6-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 $\left(\sqrt[n]{3^{12}}\right)^2$의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 개수와 그 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하고 그 값이 자연수가 되기 위한 지수의 약수 조건을 추론할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환 (40%)

지수법칙에 의하여 $\left(\sqrt[n]{3^{12}}\right)^2 = \left(3^{\frac{12}{n}}\right)^2 = 3^{\frac{24}{n}}$이다.

Step 2. 자연수가 되기 위한 $n$의 약수 조건 도출 (40%)

$3^{\frac{24}{n}}$이 자연수가 되려면 지수 $\dfrac{24}{n}$이 자연수여야 하므로, $n \; (n \ge 2)$은 $24$의 약수여야 한다.
따라서 가능한 $n$의 값은 $2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$로 총 $7$개이다.

Step 3. 모든 자연수 $n$의 합 계산 (20%)

조건을 만족하는 모든 자연수 $n$의 합은 $2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 59$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
유리수 지수 변형 및 약수 조건 도출	$3^{\frac{24}{n}}$에서 $n$이 $24$의 $2$ 이상인 약수임을 보인 경우	5점
개수와 합 계산	개수 $7$개 (2점), 합 $59$ (3점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 13번 응용 (로그의 진수 조건과 로그부등식의 결합)

문제 6-2

부등식 $\log_2(x - 3) + \log_2(x - 6) \le 2$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 진수 조건을 먼저 확인하고 로그의 성질을 이용해 로그부등식의 해를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 진수 조건 확인 (30%)

진수는 양수여야 하므로 $x - 3 > 0$이고 $x - 6 > 0$에서 $x > 6$이다.

Step 2. 로그의 성질을 이용한 이차부등식 풀이 (40%)

$\log_2\{(x - 3)(x - 6)\} \le \log_2 4$에서 밑 $2 > 1$이므로
$$(x - 3)(x - 6) \le 4 \implies (x - 2)(x - 7) \le 0 \implies 2 \le x \le 7$$

Step 3. 진수 조건과의 공통범위 및 정수해의 합 도출 (30%)

진수 조건 $x > 6$과 연립하면 $6 < x \le 7$이므로 정수 $x$는 7이고, 그 합은 $7$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
진수 조건 명시	진수 조건 $x > 6$을 구한 경우	3점
부등식의 해 도출	$6 < x \le 7$를 구한 경우	4점
정수해의 합 도출	정수 $x$의 합 $7$을 구한 경우	3점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 15번 · 자연 11번 응용 (삼각함수 각변환과 치환 최대·최소)

문제 6-3

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le \pi\}$인 함수 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 5$이 $x = \alpha$에서 최댓값 $M$, $x = \beta$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $\alpha, \beta, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각함수의 각변환 공식 $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$와 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 결합하여 최대·최소를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 각변환 및 $\cos x = t$ 치환 (40%)

$\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$이고 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로
$$f(x) = 2(1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 5 = -2\cos^2 x - 4\cos x + 7$$
$\cos x = t \; (-1 \le t \le 1)$로 치환하면 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 9$이다.

Step 2. 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출 (60%)

구간 $[-1, 1]$에서 $g(t)$는 감소하므로
• $t = \cos x = -1 \implies x = \pi$일 때 최댓값 $M = g(-1) = 9$ ($\alpha = \pi$)
• $t = \cos x = 1 \implies x = 0$일 때 최솟값 $m = g(1) = 1$ ($\beta = 0$)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
각변환 및 치환 함수 유도	$g(t) = -2(t+1)^2 + 9 \; (-1 \le t \le 1)$을 구한 경우	4점
최댓값 $M$, 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출	$\alpha = \pi, \beta = 0, M = 9, m = 1$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 응용 (사인법칙과 코사인법칙의 복합 추론)

문제 6-4

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $45$일 때, $\angle C$의 크기와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 사인법칙으로부터 세 변의 길이의 비를 구하고, 코사인법칙으로 각의 크기를 구한 뒤 외접원의 반지름을 도출할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 사인법칙과 둘레의 조건으로 세 변의 길이 도출 (30%)

사인법칙에 의하여 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $45$이므로 $a = 9, \; b = 15, \; c = 21$이다.

Step 2. 코사인법칙으로 $\angle C$의 크기 도출 (40%)

$$\begin{aligned} \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{81 + 225 - 441}{2 \times 9 \times 15} \\ &= -\frac{1}{2} \implies \angle C=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

Step 3. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (30%)

$$\begin{aligned} \frac{c}{\sin C} &= 2R \\ &\implies 2R = \frac{21}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{42}{\sqrt{3}} \\ &\implies R = \frac{21\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
세 변의 길이와 $\angle C$ 도출	$a=9, b=15, c=21$ 및 $\angle C = \dfrac{2\pi}{3}$를 구한 경우	6점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{21\sqrt{3}}{3}$을 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 13번 응용 (수열의 합과 일반항 및 부분분수 망원급수)

문제 6-5

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 5n$일 때, 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용하여 일반항을 구하고 부분분수 분해를 통해 급수의 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $S_n - S_{n-1}$을 이용한 일반항 $a_n$ 도출 (40%)

$n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 5n) - \{(n-1)^2 + 5(n-1)\} = 2n + 4$이고, $a_1 = S_1 = 6$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2(n + 2)$이다.

Step 2. 부분분수 분해 및 연쇄 소거 계산 (60%)

$$\frac{4}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}$$
따라서 구하는 합은 $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{13} = \dfrac{10}{39}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
일반항 $a_n$ 도출	$a_n = 2n + 4$을 구한 경우	4점
부분분수 합 도출	부분분수 소거를 통해 $\dfrac{10}{39}$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 12번 · 자연 11번 심화 (두 극한 조건을 이용한 다항함수 추론)

문제 6-6

다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 1} = 3$

(나) $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 15$

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $x \to \infty$에서의 극한으로 다항함수의 차수와 최고차항의 계수를 결정하고, $x \to 1$에서의 극한으로 인수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 조건 (가)로부터 $f(x)$의 차수와 최고차항 계수 결정 (40%)

조건 (가)에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수이고, 조건 (나)에서 $f(1) = 0$이므로 $f(x) = 3(x - 1)(x - k)$ (단, $k$는 상수)로 놓을 수 있다.

Step 2. 조건 (나)에 대입하여 $k$와 $f(2)$ 도출 (60%)

$$\lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 3(1 - k) = 15 \implies 1 - k = 5 \implies k = -4$$
따라서 $f(x) = 3(x - 1)(x + 4)$이므로 $f(2) = 3 \times 1 \times 6 = 18$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이차함수 $f(x)$의 식 설정	$f(x) = 3(x-1)(x-k)$로 설정한 경우	4점
$k$와 $f(2)$ 도출	$k = -4$ 및 $f(2) = 18$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 9번 응용 (미분계수의 정의와 미분가능 조건)

문제 6-7

함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3x^2 & (x \ge 1) \\ bx + c & (x < 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 함수가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 연속 조건과 좌·우미분계수 일치 조건을 연립할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 연속 조건 적용 (40%)

$f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하면 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 1-} f(x) = f(1)$에서
$$b + c = 1 + 3 = 4$$

Step 2. 좌·우미분계수 일치 조건으로 $b, c$ 도출 (60%)

$x > 1$에서 $f'(x) = 3x^2 + 6x$, $x < 1$에서 $f'(x) = b$이므로
$$b = 3(1)^2 + 6(1) = 9, \quad c = 4 - 9 = -5$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
연속 조건 관계식 도출	$b + c = 4$를 구한 경우	4점
상수 $b, c$ 도출	$b = 9$ (3점), $c = -5$ (3점)	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 15번 응용 (도함수의 부호와 삼차함수의 증가 조건)

문제 6-8

함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + 27x + 5$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 값의 범위와 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수가 실수 전체에서 증가하기 위한 필요충분조건이 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$ ($D \le 0$)임을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x) \ge 0$ 조건 설정 (40%)

삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 $x$에 대하여
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 27 \ge 0$$
이 성립해야 한다.

Step 2. 이차방정식의 판별식 $D/4 \le 0$ 풀이 및 정수 개수 도출 (60%)

이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3 \times 27 = a^2 - 81 = (a + 9)(a - 9) \le 0 \implies -9 \le a \le 9$$
따라서 정수 $a$의 개수는 $9 - (-9) + 1 = 19$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
판별식 $D/4 \le 0$ 조건 수립	$f'(x) \ge 0$으로부터 $a^2 - 81 \le 0$을 유도한 경우	5점
범위와 정수 개수 도출	$-9 \le a \le 9$ 및 정수 개수 $19$개를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 15번 응용 (도함수를 이용한 방정식의 실근의 개수)

문제 6-9

$x$에 대한 삼차방정식 $x^3 - 27x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수를 극댓값과 극솟값을 이용하여 판정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x) = x^3 - 27x$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 27x$라 하면 $f'(x) = 3(x + 3)(x - 3) = 0$에서
극댓값은 $f(-3) = 54$이고, 극솟값은 $f(3) = -54$이다.

Step 2. 직선 $y = k$가 세 점에서 만날 조건 도출 (50%)

곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값보다 크고 극댓값보다 작아야 하므로
$$-54 < k < 54$$
따라서 정수 $k$의 개수는 $2 \times 54 - 1 = 107$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $54$, 극솟값 $-54$을 구한 경우	5점
실수 $k$의 범위 및 정수 개수 도출	$-54 < k < 54$ 및 $107$개를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.128 예제 4 · 신한대 정적분 응용 (정적분으로 정의된 함수)

문제 6-10

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\displaystyle\int_{3}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + kx$를 만족시킬 때, 상수 $k$의 값과 $f(4)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 정적분으로 정의된 함수에서 위끝과 아래끝에 같은 값을 대입하는 성질과 양변을 미분하는 관계를 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 양변에 $x = 3$을 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

주어진 등식의 양변에 $x = 3$을 대입하면 좌변은 $0$이므로
$$3^3 - 3(3)^2 + 3k = 0 \implies 3k = 0 \implies k = 0$$

Step 2. 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $f(x)$와 $f(4)$ 계산 (60%)

양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + (0)$이므로
$$f(4) = 3(4)^2 - 6(4) + (0) = 24$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$x = 3$을 대입하여 $k = 0$을 구한 경우	4점
$f(x)$ 및 $f(4)$ 도출	$f(x) = 3x^2 - 6x + (0)$ 및 $f(4) = 24$을 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 심화 (거듭제곱근의 실수 개수 분류 추론)

문제 7-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 실수 $n - 4$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{8} f(n)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 실수 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수가 $n$의 홀짝성과 $a$의 부호에 따라 결정됨을 이해하고 케이스를 분류하여 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $n$이 홀수일 때와 짝수일 때의 $f(n)$ 규칙 분류 (40%)

• $n$이 홀수이면 $n - 4$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 4$일 때 $f(n) = 0$, $n = 4$일 때 $f(n) = 1$, $n > 4$일 때 $f(n) = 2$이다.

Step 2. $n = 2, 3, \dots, 8$에 대한 $f(n)$ 값 나열 및 합산 (60%)

$n = 2$부터 $n = 8$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=1, \quad f(5)=1, \\ &f(6)=2, \quad f(7)=1, \quad f(8)=2 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
홀짝성과 부호에 따른 $f(n)$ 분류	$n$의 홀짝성과 $n - 4$의 부호별 개수를 정확히 분류한 경우	5점
합산 결과 도출	총합 $8$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 예제 3·예제 4 지수함수의 최대·최소 변형 | 성취기준: [12대수01-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 7번 · 2026학년도 자연 15번 융합 (지수함수 치환 절대부등식)

문제 7-2

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 4 \cdot 2^x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값과 그때 부등식의 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $2^x = t \; (t > 0)$로 치환할 때 제한된 범위 $t > 0$에서 이차함수의 최솟값이 $0$ 이상이 될 조건을 정확히 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $2^x = t \; (t > 0)$ 치환 및 완전제곱식 변형 (40%)

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 4t + k = (t - 2)^2 + k - 4 \ge 0 \quad (t > 0)$$

Step 2. $t > 0$에서의 최솟값 조건과 등호 성립 $x$ 도출 (60%)

대칭축 $t = 2 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 2$일 때 최솟값 $k - 4$을 갖는다.
따라서 $k - 4 \ge 0 \implies k \ge 4$이므로 $k$의 최솟값은 $4$이고, 그때 $2^x = 2 = 2^{1}$에서 $x = 1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
치환 범위 $t > 0$ 및 최솟값 표현	$t > 0$에서 $t = 2$일 때 최솟값 $k - 4$임을 보인 경우	5점
최솟값 $k$와 그때의 $x$ 도출	최솟값 $4$ (3점), $x = 1$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 11번 심화 (이차식 형태 삼각방정식의 모든 실근의 합)

문제 7-3

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각방정식을 인수분해하고 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 주어진 구간에서 모든 실근과 그 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 삼각방정식의 인수분해 (40%)

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$$

Step 2. 구간 $0 \le x \le 2\pi$에서 모든 실근과 합 도출 (60%)

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = 0, \; \dfrac{2\pi}{3}, \; \dfrac{4\pi}{3}, \; 2\pi$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $4$개이고, 모든 실근의 합은 $4\pi$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼각방정식 인수분해 및 실근 나열	$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$로부터 실근 $4$개를 구한 경우	6점
모든 실근의 합 도출	모든 실근의 합 $4\pi$를 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 심화 (세 변의 길이로부터 각의 코사인·사인과 외접원 반지름 도출)

문제 7-4

세 변의 길이가 $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 7$, $\overline{AB} = 5$인 삼각형 $ABC$에 대하여 $\cos B$의 값과 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$를 구한 뒤 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$과 사인법칙을 연결하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$ 계산 (40%)

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 5} \\ &= \frac{40}{80}=\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

Step 2. $\sin B$ 및 사인법칙을 통한 외접원의 반지름 $R$ 도출 (60%)

$0 < B < \pi$에서 $\sin B > 0$이므로 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
따라서 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{7}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$\cos B$와 $\sin B$ 도출	$\cos B = \dfrac{1}{2}$ (3점), $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2점)	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 9번 · 2026학년도 자연 13번 심화 (귀납적 정의와 시그마 결합)

문제 7-5

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 2$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} - a_n = 2n + 1$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 꼴의 귀납적 정의에서 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하는 축차대입법을 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 축차대입을 통한 $a_{10}$의 시그마 표현 (40%)

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 1)$$

Step 2. 거듭제곱의 합 공식 적용 및 $a_{10}$ 계산 (60%)

$$a_{10} = 2 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 1 \times 9 = 2 + 90 + 9 = 101$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
축차대입 관계식 수립	$a_{10} = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{9} (2k + 1)$를 유도한 경우	5점
$a_{10}$의 값 도출	$a_{10} = 101$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 (교과서 34쪽) 예제 2·문제 4 함수의 연속 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-03], [12미적Ⅰ-01-02]]

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.34 · 신한대 함수의 극한·연속 심화 (곱함수의 실수 전체 연속 조건)

문제 7-6

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 1\text{ 또는 }x > 3) \\ -x + 1 & (1 \le x \le 3) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 불연속점 $x = \alpha$에서 연속함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 연속이 되려면 $g(\alpha) = 0$이어야 함을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 불연속점 확인 (40%)

$f(x)$는 $x = 1$과 $x = 3$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

Step 2. 곱함수 $f(x)g(x)$의 연속 조건으로 $g(1) = 0, \; g(3) = 0$ 적용 (60%)

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 1, \; x = 3$에서 연속이려면 $g(1) = 0, \; g(3) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 + (-4)x + 3$이므로 $a = -4, \; b = 3$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
불연속점에서의 연속 조건 도출	$g(1) = 0, \; g(3) = 0$임을 보인 경우	5점
상수 $a, b$ 도출	$a = -4$ (3점), $b = 3$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 심화 (두 곡선의 접점 및 공통접선의 방정식)

문제 7-7

두 곡선 $y = x^3 + 1x$와 $y = bx^2 + c$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 상수 $b, c$의 값과 이 점에서의 공통접선의 방정식을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$가 $x = 1$에서 접할 조건인 $f(1) = g(1)$과 $f'(1) = g'(1)$을 연립하여 미정계수와 공통접선을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 함숫값 일치 조건과 미분계수 일치 조건 수립 (50%)

$f(x) = x^3 + 1x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 1 = b + c \implies b + c = 2$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 1 = 2b \implies b = 2, \; c = 0$

Step 2. 공통접선의 방정식 도출 (50%)

접점의 좌표는 $(1, 2)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 4$이므로
$$y - 2 = 4(x - 1) \implies y = 4x - 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $b, c$ 도출	$b = 2$ (3점), $c = 0$ (3점)	6점
공통접선의 방정식 도출	$y = 4x - 2$을 구한 경우	4점

2027학년도 신한대 수학 실전 모의고사 제7회 해설 상 (고난도 변별) 수학Ⅱ (다항함수의 미분법) 인문 14번 · 자연 8번 · 자연 15번 고난도 변별

[제7회 · 문항 8 해설] 절댓값 기호를 포함한 삼차함수 그래프와 실근의 개수

배점: 10점 | 권장시간: 5분

난이도: 상 (고난도 변별)

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 2026학년도 자연 15번 심화 (절댓값 삼차함수와 실근의 개수)

문제 7-8

함수 $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수 $y = f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, $x$축 아래 부분을 접어 올린 $y = |f(x)|$의 그래프와 직선 $y = k$의 교점 개수를 추론할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1) = 0$이므로
• $x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$
• $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$

Step 2. 곡선 $y = |f(x)|$와 직선 $y = k$의 교점 개수 분석 (50%)

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -1$에서 극댓값 $3$, $x = 1$에서 극댓값 $|-1| = 1$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $1 < k < 3$이어야 한다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$f(x)$의 극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $3$, 극솟값 $-1$을 구한 경우	5점
$k$의 값의 범위 도출	$1 < k < 3$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 · 자연 14번 융합 (속도의 부호 변화와 절댓값 정적분 이동거리)

문제 7-9

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 6t$이다. 출발 후 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $s$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 시각에서 운동 방향이 바뀜을 이해하고, 절댓값 정적분 $\displaystyle\int_{0}^{T} |v(t)|\,dt$를 구간별로 나누어 실제 이동거리를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t) = 0$으로부터 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출 (30%)

$v(t) = 3t(t - 2) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 2$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 2$이다.

Step 2. 구간 $[0, 2]$과 $[2, 3]$으로 나누어 이동거리 $s$ 계산 (70%)

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{3} |3t^2 - 6t|\,dt \\ &= \int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[3t^2 - t^3\Big]_{0}^{2} + \Big[t^3 - 3t^2\Big]_{2}^{3} = 4 + 4 = 8$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출	$t_1 = 2$을 구한 경우	3점
실제로 움직인 거리 $s$ 도출	절댓값 정적분 구간 분리를 통해 $s = 8$을 구한 경우	7점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.29 (교과서 140쪽) 예제 3·문제 4 두 곡선 사이의 넓이 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-05], [12미적Ⅰ-02-05]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 동형 심화 (문항정보 30: 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이)

문제 7-10

곡선 $y = x^3 - 2x + 3$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = x^3 - 2x + 3$과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 곡선과 접선의 교점을 찾아 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식 도출 (40%)

$f(x) = x^3 - 2x + 3$에서 $f'(1) = 1$이므로 점 $(1, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = x + 1$이다.

Step 2. 곡선과 접선의 교점 및 정적분 넓이 $S$ 계산 (60%)

방정식 $x^3 - 2x + 3 = x + 1$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (1))^2(x - (-2)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = -2, \; 1$이다.
$$S = \int_{-2}^{1} \left|(x - (1))^2(x - (-2))\right|\,dx = \frac{(1 - (-2))^4}{12} = \dfrac{27}{4}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선 $l$의 방정식 도출	접선의 방정식 $y = x + 1$를 구한 경우	4점
곡선과 접선의 교점 및 넓이 $S$ 도출	교점 $x = -2, 1$ 및 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$를 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 심화 (거듭제곱근의 실수 개수 분류 추론)

문제 8-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 실수 $n - 5$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{9} f(n)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $n$이 홀수일 때와 짝수일 때의 $f(n)$ 규칙 분류 (40%)

• $n$이 홀수이면 $n - 5$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 5$일 때 $f(n) = 0$, $n = 5$일 때 $f(n) = 1$, $n > 5$일 때 $f(n) = 2$이다.

Step 2. $n = 2, 3, \dots, 9$에 대한 $f(n)$ 값 나열 및 합산 (60%)

$n = 2$부터 $n = 9$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=0, \quad f(5)=1, \\ &f(6)=2, \quad f(7)=1, \quad f(8)=2, \quad f(9)=1 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
홀짝성과 부호에 따른 $f(n)$ 분류	$n$의 홀짝성과 $n - 5$의 부호별 개수를 정확히 분류한 경우	5점
합산 결과 도출	총합 $8$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 7번 · 2026학년도 자연 15번 융합 (지수함수 치환 절대부등식)

문제 8-2

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 8 \cdot 2^x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값과 그때 부등식의 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $2^x = t \; (t > 0)$로 치환할 때 제한된 범위 $t > 0$에서 이차함수의 최솟값이 $0$ 이상이 될 조건을 정확히 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $2^x = t \; (t > 0)$ 치환 및 완전제곱식 변형 (40%)

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 8t + k = (t - 4)^2 + k - 16 \ge 0 \quad (t > 0)$$

Step 2. $t > 0$에서의 최솟값 조건과 등호 성립 $x$ 도출 (60%)

대칭축 $t = 4 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 4$일 때 최솟값 $k - 16$을 갖는다.
따라서 $k - 16 \ge 0 \implies k \ge 16$이므로 $k$의 최솟값은 $16$이고, 그때 $2^x = 4 = 2^{2}$에서 $x = 2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
치환 범위 $t > 0$ 및 최솟값 표현	$t > 0$에서 $t = 4$일 때 최솟값 $k - 16$임을 보인 경우	5점
최솟값 $k$와 그때의 $x$ 도출	최솟값 $16$ (3점), $x = 2$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 11번 심화 (이차식 형태 삼각방정식의 모든 실근의 합)

문제 8-3

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x = 0$의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각방정식을 인수분해하고 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 주어진 구간에서 모든 실근과 그 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 삼각방정식의 인수분해 (40%)

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$\sin x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$

Step 2. 구간 $0 \le x \le 2\pi$에서 모든 실근과 합 도출 (60%)

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = 0, \; \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{2\pi}{3}, \; \pi, \; 2\pi$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $5$개이고, 모든 실근의 합은 $4\pi$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼각방정식 인수분해 및 실근 나열	$\sin x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$로부터 실근 $5$개를 구한 경우	6점
모든 실근의 합 도출	모든 실근의 합 $4\pi$를 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 심화 (세 변의 길이로부터 각의 코사인·사인과 외접원 반지름 도출)

문제 8-4

세 변의 길이가 $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 13$, $\overline{AB} = 7$인 삼각형 $ABC$에 대하여 $\cos B$의 값과 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$를 구한 뒤 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$과 사인법칙을 연결하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$ 계산 (40%)

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 7^2 - 13^2}{2 \times 8 \times 7} \\ &= \frac{-56}{112}=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

Step 2. $\sin B$ 및 사인법칙을 통한 외접원의 반지름 $R$ 도출 (60%)

$0 < B < \pi$에서 $\sin B > 0$이므로 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
따라서 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{13}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \implies R = \dfrac{13\sqrt{3}}{3}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$\cos B$와 $\sin B$ 도출	$\cos B = -\dfrac{1}{2}$ (3점), $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2점)	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{13\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 9번 · 2026학년도 자연 13번 심화 (귀납적 정의와 시그마 결합)

문제 8-5

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} - a_n = 2n + 3$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 꼴의 귀납적 정의에서 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하는 축차대입법을 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 축차대입을 통한 $a_{10}$의 시그마 표현 (40%)

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 3)$$

Step 2. 거듭제곱의 합 공식 적용 및 $a_{10}$ 계산 (60%)

$$a_{10} = 3 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 3 \times 9 = 3 + 90 + 27 = 120$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
축차대입 관계식 수립	$a_{10} = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{9} (2k + 3)$를 유도한 경우	5점
$a_{10}$의 값 도출	$a_{10} = 120$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.34 · 신한대 함수의 극한·연속 심화 (곱함수의 실수 전체 연속 조건)

문제 8-6

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 2\text{ 또는 }x > 4) \\ -x + 1 & (2 \le x \le 4) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 불연속점 $x = \alpha$에서 연속함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 연속이 되려면 $g(\alpha) = 0$이어야 함을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 불연속점 확인 (40%)

$f(x)$는 $x = 2$과 $x = 4$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

Step 2. 곱함수 $f(x)g(x)$의 연속 조건으로 $g(2) = 0, \; g(4) = 0$ 적용 (60%)

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 2, \; x = 4$에서 연속이려면 $g(2) = 0, \; g(4) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 2)(x - 4) = x^2 + (-6)x + 8$이므로 $a = -6, \; b = 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
불연속점에서의 연속 조건 도출	$g(2) = 0, \; g(4) = 0$임을 보인 경우	5점
상수 $a, b$ 도출	$a = -6$ (3점), $b = 8$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 심화 (두 곡선의 접점 및 공통접선의 방정식)

문제 8-7

두 곡선 $y = x^3 + 3x$와 $y = bx^2 + c$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 상수 $b, c$의 값과 이 점에서의 공통접선의 방정식을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$가 $x = 1$에서 접할 조건인 $f(1) = g(1)$과 $f'(1) = g'(1)$을 연립하여 미정계수와 공통접선을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 함숫값 일치 조건과 미분계수 일치 조건 수립 (50%)

$f(x) = x^3 + 3x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 3 = b + c \implies b + c = 4$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 3 = 2b \implies b = 3, \; c = 1$

Step 2. 공통접선의 방정식 도출 (50%)

접점의 좌표는 $(1, 4)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 6$이므로
$$y - 4 = 6(x - 1) \implies y = 6x - 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $b, c$ 도출	$b = 3$ (3점), $c = 1$ (3점)	6점
공통접선의 방정식 도출	$y = 6x - 2$을 구한 경우	4점

2027학년도 신한대 수학 실전 모의고사 제8회 해설 상 (고난도 변별) 수학Ⅱ (다항함수의 미분법) 인문 14번 · 자연 8번 · 자연 15번 고난도 변별

[제8회 · 문항 8 해설] 절댓값 기호를 포함한 삼차함수 그래프와 실근의 개수

배점: 10점 | 권장시간: 5분

난이도: 상 (고난도 변별)

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 2026학년도 자연 15번 심화 (절댓값 삼차함수와 실근의 개수)

문제 8-8

함수 $f(x) = x^3 - 12x + 8$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x + 2)(x - 2) = 0$이므로
• $x = -2$에서 극댓값 $f(-2) = -8 + 24 + 8 = 24$
• $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 8 - 24 + 8 = -8$

Step 2. 곡선 $y = |f(x)|$와 직선 $y = k$의 교점 개수 분석 (50%)

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -2$에서 극댓값 $24$, $x = 2$에서 극댓값 $|-8| = 8$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $8 < k < 24$이어야 한다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$f(x)$의 극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $24$, 극솟값 $-8$을 구한 경우	5점
$k$의 값의 범위 도출	$8 < k < 24$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 · 자연 14번 융합 (속도의 부호 변화와 절댓값 정적분 이동거리)

문제 8-9

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 12t$이다. 출발 후 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 6$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $s$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t) = 0$으로부터 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출 (30%)

$v(t) = 3t(t - 4) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 4$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 4$이다.

Step 2. 구간 $[0, 4]$과 $[4, 6]$으로 나누어 이동거리 $s$ 계산 (70%)

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{6} |3t^2 - 12t|\,dt \\ &= \int_{0}^{4} (12t - 3t^2)\,dt + \int_{4}^{6} (3t^2 - 12t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[6t^2 - t^3\Big]_{0}^{4} + \Big[t^3 - 6t^2\Big]_{4}^{6} = 32 + 32 = 64$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출	$t_1 = 4$을 구한 경우	3점
실제로 움직인 거리 $s$ 도출	절댓값 정적분 구간 분리를 통해 $s = 64$을 구한 경우	7점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 동형 심화 (문항정보 30: 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이)

문제 8-10

곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 2$ 위의 점 $(0, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 2$과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 곡선과 접선의 교점을 찾아 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 점 $(0, 2)$에서의 접선의 방정식 도출 (40%)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 2$에서 $f'(0) = 2$이므로 점 $(0, 2)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = 2x + 2$이다.

Step 2. 곡선과 접선의 교점 및 정적분 넓이 $S$ 계산 (60%)

방정식 $x^3 - 3x^2 + 2x + 2 = 2x + 2$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (0))^2(x - (3)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = 0, \; 3$이다.
$$S = \int_{0}^{3} \left|(x - (0))^2(x - (3))\right|\,dx = \frac{(3 - (0))^4}{12} = \dfrac{27}{4}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선 $l$의 방정식 도출	접선의 방정식 $y = 2x + 2$를 구한 경우	4점
곡선과 접선의 교점 및 넓이 $S$ 도출	교점 $x = 0, 3$ 및 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$를 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 심화 (거듭제곱근의 실수 개수 분류 추론)

문제 9-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 실수 $n - 6$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{10} f(n)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $n$이 홀수일 때와 짝수일 때의 $f(n)$ 규칙 분류 (40%)

• $n$이 홀수이면 $n - 6$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 6$일 때 $f(n) = 0$, $n = 6$일 때 $f(n) = 1$, $n > 6$일 때 $f(n) = 2$이다.

Step 2. $n = 2, 3, \dots, 10$에 대한 $f(n)$ 값 나열 및 합산 (60%)

$n = 2$부터 $n = 10$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=0, \quad f(5)=1, \quad f(6)=1, \\ &f(7)=1, \quad f(8)=2, \quad f(9)=1, \quad f(10)=2 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 9$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
홀짝성과 부호에 따른 $f(n)$ 분류	$n$의 홀짝성과 $n - 6$의 부호별 개수를 정확히 분류한 경우	5점
합산 결과 도출	총합 $9$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 7번 · 2026학년도 자연 15번 융합 (지수함수 치환 절대부등식)

문제 9-2

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 16 \cdot 2^x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값과 그때 부등식의 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $2^x = t \; (t > 0)$로 치환할 때 제한된 범위 $t > 0$에서 이차함수의 최솟값이 $0$ 이상이 될 조건을 정확히 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $2^x = t \; (t > 0)$ 치환 및 완전제곱식 변형 (40%)

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 16t + k = (t - 8)^2 + k - 64 \ge 0 \quad (t > 0)$$

Step 2. $t > 0$에서의 최솟값 조건과 등호 성립 $x$ 도출 (60%)

대칭축 $t = 8 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 8$일 때 최솟값 $k - 64$을 갖는다.
따라서 $k - 64 \ge 0 \implies k \ge 64$이므로 $k$의 최솟값은 $64$이고, 그때 $2^x = 8 = 2^{3}$에서 $x = 3$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
치환 범위 $t > 0$ 및 최솟값 표현	$t > 0$에서 $t = 8$일 때 최솟값 $k - 64$임을 보인 경우	5점
최솟값 $k$와 그때의 $x$ 도출	최솟값 $64$ (3점), $x = 3$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 11번 심화 (이차식 형태 삼각방정식의 모든 실근의 합)

문제 9-3

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0$의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각방정식을 인수분해하고 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 주어진 구간에서 모든 실근과 그 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 삼각방정식의 인수분해 (40%)

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$\cos x(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$

Step 2. 구간 $0 \le x \le 2\pi$에서 모든 실근과 합 도출 (60%)

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{5\pi}{6}, \; \dfrac{7\pi}{6}, \; \dfrac{3\pi}{2}$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $4$개이고, 모든 실근의 합은 $4\pi$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼각방정식 인수분해 및 실근 나열	$\cos x(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$로부터 실근 $4$개를 구한 경우	6점
모든 실근의 합 도출	모든 실근의 합 $4\pi$를 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 심화 (세 변의 길이로부터 각의 코사인·사인과 외접원 반지름 도출)

문제 9-4

세 변의 길이가 $\overline{BC} = 5$, $\overline{CA} = 7$, $\overline{AB} = 3$인 삼각형 $ABC$에 대하여 $\cos B$의 값과 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$를 구한 뒤 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$과 사인법칙을 연결하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$ 계산 (40%)

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 3} \\ &= \frac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

Step 2. $\sin B$ 및 사인법칙을 통한 외접원의 반지름 $R$ 도출 (60%)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$\cos B$와 $\sin B$ 도출	$\cos B = -\dfrac{1}{2}$ (3점), $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2점)	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 9번 · 2026학년도 자연 13번 심화 (귀납적 정의와 시그마 결합)

문제 9-5

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 4$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} - a_n = 2n + 5$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 꼴의 귀납적 정의에서 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하는 축차대입법을 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 축차대입을 통한 $a_{10}$의 시그마 표현 (40%)

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 5)$$

Step 2. 거듭제곱의 합 공식 적용 및 $a_{10}$ 계산 (60%)

$$a_{10} = 4 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 5 \times 9 = 4 + 90 + 45 = 139$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
축차대입 관계식 수립	$a_{10} = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{9} (2k + 5)$를 유도한 경우	5점
$a_{10}$의 값 도출	$a_{10} = 139$을 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.34 · 신한대 함수의 극한·연속 심화 (곱함수의 실수 전체 연속 조건)

문제 9-6

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 3\text{ 또는 }x > 5) \\ -x + 1 & (3 \le x \le 5) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 불연속점 $x = \alpha$에서 연속함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 연속이 되려면 $g(\alpha) = 0$이어야 함을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 불연속점 확인 (40%)

$f(x)$는 $x = 3$과 $x = 5$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

Step 2. 곱함수 $f(x)g(x)$의 연속 조건으로 $g(3) = 0, \; g(5) = 0$ 적용 (60%)

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 3, \; x = 5$에서 연속이려면 $g(3) = 0, \; g(5) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 3)(x - 5) = x^2 + (-8)x + 15$이므로 $a = -8, \; b = 15$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
불연속점에서의 연속 조건 도출	$g(3) = 0, \; g(5) = 0$임을 보인 경우	5점
상수 $a, b$ 도출	$a = -8$ (3점), $b = 15$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 심화 (두 곡선의 접점 및 공통접선의 방정식)

문제 9-7

두 곡선 $y = x^3 + 5x$와 $y = bx^2 + c$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 상수 $b, c$의 값과 이 점에서의 공통접선의 방정식을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$가 $x = 1$에서 접할 조건인 $f(1) = g(1)$과 $f'(1) = g'(1)$을 연립하여 미정계수와 공통접선을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 함숫값 일치 조건과 미분계수 일치 조건 수립 (50%)

$f(x) = x^3 + 5x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 5 = b + c \implies b + c = 6$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 5 = 2b \implies b = 4, \; c = 2$

Step 2. 공통접선의 방정식 도출 (50%)

접점의 좌표는 $(1, 6)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 8$이므로
$$y - 6 = 8(x - 1) \implies y = 8x - 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $b, c$ 도출	$b = 4$ (3점), $c = 2$ (3점)	6점
공통접선의 방정식 도출	$y = 8x - 2$을 구한 경우	4점

2027학년도 신한대 수학 실전 모의고사 제9회 해설 상 (고난도 변별) 수학Ⅱ (다항함수의 미분법) 인문 14번 · 자연 8번 · 자연 15번 고난도 변별

[제9회 · 문항 8 해설] 절댓값 기호를 포함한 삼차함수 그래프와 실근의 개수

배점: 10점 | 권장시간: 5분

난이도: 상 (고난도 변별)

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 2026학년도 자연 15번 심화 (절댓값 삼차함수와 실근의 개수)

문제 9-8

함수 $f(x) = x^3 - 27x + 27$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x + 3)(x - 3) = 0$이므로
• $x = -3$에서 극댓값 $f(-3) = -27 + 81 + 27 = 81$
• $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = 27 - 81 + 27 = -27$

Step 2. 곡선 $y = |f(x)|$와 직선 $y = k$의 교점 개수 분석 (50%)

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -3$에서 극댓값 $81$, $x = 3$에서 극댓값 $|-27| = 27$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $27 < k < 81$이어야 한다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$f(x)$의 극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $81$, 극솟값 $-27$을 구한 경우	5점
$k$의 값의 범위 도출	$27 < k < 81$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 · 자연 14번 융합 (속도의 부호 변화와 절댓값 정적분 이동거리)

문제 9-9

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 18t$이다. 출발 후 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 9$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $s$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t) = 0$으로부터 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출 (30%)

$v(t) = 3t(t - 6) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 6$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 6$이다.

Step 2. 구간 $[0, 6]$과 $[6, 9]$으로 나누어 이동거리 $s$ 계산 (70%)

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{9} |3t^2 - 18t|\,dt \\ &= \int_{0}^{6} (18t - 3t^2)\,dt + \int_{6}^{9} (3t^2 - 18t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[9t^2 - t^3\Big]_{0}^{6} + \Big[t^3 - 9t^2\Big]_{6}^{9} = 108 + 108 = 216$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출	$t_1 = 6$을 구한 경우	3점
실제로 움직인 거리 $s$ 도출	절댓값 정적분 구간 분리를 통해 $s = 216$을 구한 경우	7점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 동형 심화 (문항정보 30: 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이)

문제 9-10

곡선 $y = x^3 - 4x^2 + 5$ 위의 점 $(0, 5)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = x^3 - 4x^2 + 5$과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 곡선과 접선의 교점을 찾아 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 점 $(0, 5)$에서의 접선의 방정식 도출 (40%)

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$에서 $f'(0) = 0$이므로 점 $(0, 5)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = 5$이다.

Step 2. 곡선과 접선의 교점 및 정적분 넓이 $S$ 계산 (60%)

방정식 $x^3 - 4x^2 + 5 = 5$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (0))^2(x - (4)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = 0, \; 4$이다.
$$S = \int_{0}^{4} \left|(x - (0))^2(x - (4))\right|\,dx = \frac{(4 - (0))^4}{12} = \dfrac{64}{3}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선 $l$의 방정식 도출	접선의 방정식 $y = 5$를 구한 경우	4점
곡선과 접선의 교점 및 넓이 $S$ 도출	교점 $x = 0, 4$ 및 넓이 $S = \dfrac{64}{3}$를 구한 경우	6점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 심화 (거듭제곱근의 실수 개수 분류 추론)

문제 10-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 실수 $n - 7$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f(n)$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=2}^{11} f(n)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $n$이 홀수일 때와 짝수일 때의 $f(n)$ 규칙 분류 (40%)

• $n$이 홀수이면 $n - 7$의 부호에 관계없이 $f(n) = 1$이다.
• $n$이 짝수이면 $n < 7$일 때 $f(n) = 0$, $n = 7$일 때 $f(n) = 1$, $n > 7$일 때 $f(n) = 2$이다.

Step 2. $n = 2, 3, \dots, 11$에 대한 $f(n)$ 값 나열 및 합산 (60%)

$n = 2$부터 $n = 11$까지 순서대로 $f(n)$을 구하면
$$\begin{aligned} &f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=0, \quad f(5)=1, \quad f(6)=0, \\ &f(7)=1, \quad f(8)=2, \quad f(9)=1, \quad f(10)=2, \quad f(11)=1 \end{aligned}$$
따라서 모든 항의 합은 $0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 9$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
홀짝성과 부호에 따른 $f(n)$ 분류	$n$의 홀짝성과 $n - 7$의 부호별 개수를 정확히 분류한 경우	5점
합산 결과 도출	총합 $9$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 7번 · 2026학년도 자연 15번 융합 (지수함수 치환 절대부등식)

문제 10-2

모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 32 \cdot 2^x + k \ge 0$이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값과 그때 부등식의 등호가 성립하는 $x$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $2^x = t \; (t > 0)$로 치환할 때 제한된 범위 $t > 0$에서 이차함수의 최솟값이 $0$ 이상이 될 조건을 정확히 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $2^x = t \; (t > 0)$ 치환 및 완전제곱식 변형 (40%)

$2^x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $t > 0$이고, 주어진 부등식은
$$g(t) = t^2 - 32t + k = (t - 16)^2 + k - 256 \ge 0 \quad (t > 0)$$

Step 2. $t > 0$에서의 최솟값 조건과 등호 성립 $x$ 도출 (60%)

대칭축 $t = 16 > 0$이므로 $t > 0$에서 함수 $g(t)$는 $t = 16$일 때 최솟값 $k - 256$을 갖는다.
따라서 $k - 256 \ge 0 \implies k \ge 256$이므로 $k$의 최솟값은 $256$이고, 그때 $2^x = 16 = 2^{4}$에서 $x = 4$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
치환 범위 $t > 0$ 및 최솟값 표현	$t > 0$에서 $t = 16$일 때 최솟값 $k - 256$임을 보인 경우	5점
최솟값 $k$와 그때의 $x$ 도출	최솟값 $256$ (3점), $x = 4$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 11번 심화 (이차식 형태 삼각방정식의 모든 실근의 합)

문제 10-3

$0 \le x \le 2\pi$일 때, 방정식 $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$의 서로 다른 실근의 개수와 모든 실근의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각방정식을 인수분해하고 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 주어진 구간에서 모든 실근과 그 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 삼각방정식의 인수분해 (40%)

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면
$$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$$

Step 2. 구간 $0 \le x \le 2\pi$에서 모든 실근과 합 도출 (60%)

$0 \le x \le 2\pi$에서 조건을 만족하는 실근은
$$x = \dfrac{\pi}{6}, \; \dfrac{5\pi}{6}, \; \dfrac{3\pi}{2}$$
이므로 서로 다른 실근의 개수는 $3$개이고, 모든 실근의 합은 $\dfrac{5\pi}{2}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
삼각방정식 인수분해 및 실근 나열	$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$로부터 실근 $3$개를 구한 경우	6점
모든 실근의 합 도출	모든 실근의 합 $\dfrac{5\pi}{2}$를 구한 경우	4점

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 심화 (세 변의 길이로부터 각의 코사인·사인과 외접원 반지름 도출)

문제 10-4

세 변의 길이가 $\overline{BC} = 16$, $\overline{CA} = 14$, $\overline{AB} = 10$인 삼각형 $ABC$에 대하여 $\cos B$의 값과 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$를 구한 뒤 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$과 사인법칙을 연결하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙의 변형 공식으로 $\cos B$ 계산 (40%)

$$\begin{aligned} \cos B &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{16^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 16 \times 10} \\ &= \frac{160}{320}=\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$

Step 2. $\sin B$ 및 사인법칙을 통한 외접원의 반지름 $R$ 도출 (60%)

$0 < B < \pi$에서 $\sin B > 0$이므로 $\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.
따라서 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{14}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \implies R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$\cos B$와 $\sin B$ 도출	$\cos B = \dfrac{1}{2}$ (3점), $\sin B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2점)	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 9번 · 2026학년도 자연 13번 심화 (귀납적 정의와 시그마 결합)

문제 10-5

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} - a_n = 2n + 7$$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 꼴의 귀납적 정의에서 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하는 축차대입법을 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 축차대입을 통한 $a_{10}$의 시그마 표현 (40%)

주어진 식에 $n = 1, 2, \dots, 9$를 차례로 대입하여 변변 더하면
$$a_{10} - a_1 = \sum_{k=1}^{9} (2k + 7)$$

Step 2. 거듭제곱의 합 공식 적용 및 $a_{10}$ 계산 (60%)

$$a_{10} = 5 + 2 \times \frac{9 \times 10}{2} + 7 \times 9 = 5 + 90 + 63 = 158$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
축차대입 관계식 수립	$a_{10} = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{9} (2k + 7)$를 유도한 경우	5점
$a_{10}$의 값 도출	$a_{10} = 158$을 구한 경우	5점

2027학년도 신한대 수학 실전 모의고사 제10회 해설 상 (고난도 변별) 수학Ⅱ (함수의 극한과 연속) 자연 10번 · 자연 11번 고난도 변별

[제10회 · 문항 6 해설] 불연속 함수와 다항함수의 곱이 실수 전체에서 연속일 조건

배점: 10점 | 권장시간: 5분

난이도: 상 (고난도 변별)

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.34 · 신한대 함수의 극한·연속 심화 (곱함수의 실수 전체 연속 조건)

문제 10-6

함수 $f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x < 4\text{ 또는 }x > 6) \\ -x + 1 & (4 \le x \le 6) \end{cases}$와 이차함수 $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 불연속점 $x = \alpha$에서 연속함수 $g(x)$와의 곱 $f(x)g(x)$가 연속이 되려면 $g(\alpha) = 0$이어야 함을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 불연속점 확인 (40%)

$f(x)$는 $x = 4$과 $x = 6$에서 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

Step 2. 곱함수 $f(x)g(x)$의 연속 조건으로 $g(4) = 0, \; g(6) = 0$ 적용 (60%)

연속함수 $g(x)$에 대하여 $f(x)g(x)$가 $x = 4, \; x = 6$에서 연속이려면 $g(4) = 0, \; g(6) = 0$이어야 한다.
따라서 $g(x) = (x - 4)(x - 6) = x^2 + (-10)x + 24$이므로 $a = -10, \; b = 24$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
불연속점에서의 연속 조건 도출	$g(4) = 0, \; g(6) = 0$임을 보인 경우	5점
상수 $a, b$ 도출	$a = -10$ (3점), $b = 24$ (2점)	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 심화 (두 곡선의 접점 및 공통접선의 방정식)

문제 10-7

두 곡선 $y = x^3 + 7x$와 $y = bx^2 + c$가 $x = 1$인 점에서 접할 때, 상수 $b, c$의 값과 이 점에서의 공통접선의 방정식을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$가 $x = 1$에서 접할 조건인 $f(1) = g(1)$과 $f'(1) = g'(1)$을 연립하여 미정계수와 공통접선을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 함숫값 일치 조건과 미분계수 일치 조건 수립 (50%)

$f(x) = x^3 + 7x$, $g(x) = bx^2 + c$라 하면
• $f(1) = g(1) \implies 1 + 7 = b + c \implies b + c = 8$
• $f'(1) = g'(1) \implies 3 + 7 = 2b \implies b = 5, \; c = 3$

Step 2. 공통접선의 방정식 도출 (50%)

접점의 좌표는 $(1, 8)$이고 접선의 기울기는 $f'(1) = 10$이므로
$$y - 8 = 10(x - 1) \implies y = 10x - 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $b, c$ 도출	$b = 5$ (3점), $c = 3$ (3점)	6점
공통접선의 방정식 도출	$y = 10x - 2$을 구한 경우	4점

2027학년도 신한대 수학 실전 모의고사 제10회 해설 상 (고난도 변별) 수학Ⅱ (다항함수의 미분법) 인문 14번 · 자연 8번 · 자연 15번 고난도 변별

[제10회 · 문항 8 해설] 절댓값 기호를 포함한 삼차함수 그래프와 실근의 개수

배점: 10점 | 권장시간: 5분

난이도: 상 (고난도 변별)

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 2026학년도 자연 15번 심화 (절댓값 삼차함수와 실근의 개수)

문제 10-8

함수 $f(x) = x^3 - 48x + 64$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 양수 $k$의 값의 범위를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f'(x) = 3x^2 - 48 = 3(x + 4)(x - 4) = 0$이므로
• $x = -4$에서 극댓값 $f(-4) = -64 + 192 + 64 = 192$
• $x = 4$에서 극솟값 $f(4) = 64 - 192 + 64 = -64$

Step 2. 곡선 $y = |f(x)|$와 직선 $y = k$의 교점 개수 분석 (50%)

$y = |f(x)|$의 그래프는 $x = -4$에서 극댓값 $192$, $x = 4$에서 극댓값 $|-64| = 64$을 갖는다.
따라서 직선 $y = k$가 곡선 $y = |f(x)|$와 서로 다른 $4$개의 점에서 만나려면 $64 < k < 192$이어야 한다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
$f(x)$의 극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $192$, 극솟값 $-64$을 구한 경우	5점
$k$의 값의 범위 도출	$64 < k < 192$를 구한 경우	5점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 · 자연 14번 융합 (속도의 부호 변화와 절댓값 정적분 이동거리)

문제 10-9

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도가 $v(t) = 3t^2 - 24t$이다. 출발 후 점 $P$의 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$과 시각 $t = 0$에서 $t = 12$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리 $s$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t) = 0$으로부터 운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출 (30%)

$v(t) = 3t(t - 8) = 0$에서 $t > 0$일 때 $t = 8$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음($-$)에서 양($+$)으로 바뀌므로 $t_1 = 8$이다.

Step 2. 구간 $[0, 8]$과 $[8, 12]$으로 나누어 이동거리 $s$ 계산 (70%)

$$\begin{aligned} s &= \int_{0}^{12} |3t^2 - 24t|\,dt \\ &= \int_{0}^{8} (24t - 3t^2)\,dt + \int_{8}^{12} (3t^2 - 24t)\,dt \end{aligned}$$
$$\quad = \Big[12t^2 - t^3\Big]_{0}^{8} + \Big[t^3 - 12t^2\Big]_{8}^{12} = 256 + 256 = 512$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
운동 방향이 바뀌는 시각 $t_1$ 도출	$t_1 = 8$을 구한 경우	3점
실제로 움직인 거리 $s$ 도출	절댓값 정적분 구간 분리를 통해 $s = 512$을 구한 경우	7점

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 동형 심화 (문항정보 30: 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이)

문제 10-10

곡선 $y = x^3 - 3x + 4$ 위의 점 $(-1, 6)$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하고, 곡선 $y = x^3 - 3x + 4$과 접선 $l$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 곡선과 접선의 교점을 찾아 정적분으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 점 $(-1, 6)$에서의 접선의 방정식 도출 (40%)

$f(x) = x^3 - 3x + 4$에서 $f'(-1) = 0$이므로 점 $(-1, 6)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y = 6$이다.

Step 2. 곡선과 접선의 교점 및 정적분 넓이 $S$ 계산 (60%)

방정식 $x^3 - 3x + 4 = 6$을 정리하여 인수분해하면 $(x - (-1))^2(x - (2)) = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $x = -1, \; 2$이다.
$$S = \int_{-1}^{2} \left|(x - (-1))^2(x - (2))\right|\,dx = \frac{(2 - (-1))^4}{12} = \dfrac{27}{4}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선 $l$의 방정식 도출	접선의 방정식 $y = 6$를 구한 경우	4점
곡선과 접선의 교점 및 넓이 $S$ 도출	교점 $x = -1, 2$ 및 넓이 $S = \dfrac{27}{4}$를 구한 경우	6점